Y los videos ...

El día de Navidad.

Además de estudiar Matemáticas, en el Herman Ottó también sabemos pasarlo bien :)
¡¡FELIZ NAVIDAD!!

AYUDA.

Hola,
mañana resolveremos la hoja 2 de los ejercicios de factorización en clase.
Para que al menos los intentéis en casa, os pongo a continuación algunas ayudas para el ejercicio 1. Una vez hechos, el ejercicio 2 va sólo:

En el ejercicio N° 1 se puede aplicar

• Factor Común por Grupos

• Diferencia de Cuadrados

• Divisibilidad

En el ejercicio N° 2 se puede aplicar

• Factor Común

• Factor Común por Grupos

• Diferencia de Cuadrados

En el ejercicio N° 3 se puede aplicar

• Factor Común

• Cuatrinomio Cubo Perfecto

En el ejercicio N° 4 se puede aplicar

• Factor Común

• Trinomio Cuadrado Perfecto

En el ejercicio N° 5 se puede aplicar

• Factor Común

• Factor Común por Grupos

• Divisibilidad

En el ejercicio N° 6 se puede aplicar

• Factor Común

• Factor Común por Grupos

• Diferencia de Cuadrados

En el ejercicio N° 7 se puede aplicar

• Factor Común

• Diferencia de Cuadrados

EJERCICIOS RESUELTOS Y MÁS EJERCICIOS PROPUESTOS.

Como comenté hoy en clase, aquí os voy a poner una serie de ejercicios sobre factorización para que practiqueis. Como estos ejercicios tienen solución, NO LOS VAMOS A CORREGIR en clase. Pero es muy bueno para vosotros si los hacéis:

1. Este es un link a una web donde aparecen ejercicios resueltos incluída explicación.
MUY MUY ÚTIL PARA PRACTICAR!!!!!!!!!!!!:
http://ehenao.wordpress.com/ejercicios-resueltos/

2. En este documento también hay otro montón de ejercicios resueltos.

Ejercicios_Resuelt...

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3. Por último aquí os pongo otra hoja de ejercicios más sobre factorización para practicar.

EJERCICIOS_FACTORI...

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LOS EJERCICIOS EN EL PUNTO 2. Y 3. SON ENTREGAR EN CLASE EL PRÓXIMO LUNES. VOY A PONER NOTA, aunque los del 2. ya están hechos, quiero que me los entregéis igual.


POR FAVOR, SI ALGUIEN TIENE PROBLEMAS VIENDO ALGÚN DOCUMENTO QUE ME MANDE UN MAIL: angelica.miskolc@gmail.com
¡¡GRACIAS!!

MÁS EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN.

Hola,

aquí hay más ejercicios de factorización.

EJERCICIOS DE FAC...

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Respecto a los ejercicios con cubos que hay en la hoja 1 de ejercicios de factorización:
Y con esto habremos visto todas las fórmulas que tenéis que saber.

CUBO DE UN BINOMIO GRAFICAMENTE.

Como os prometí, os pongo la demostración geométrica del cubo de un binomio.
Esta vez se trata de un cubo, que hemos descompuesto en cubitos más pequeños como veis en la foto.

Fijaros en una cara: cada lado de esa cara mide a+b.
Por ejemplo, a es la medida del lado más largo y b la del lado más corto.
Según esto, el volumen del cubo sería:











Por otra parte, veamos ahora cuales son los volúmenes que tenemos:

• Hay 3 cubos de lado y alto b, y fondo a. El volumen de cada cubo es:

• Hay uno cubo de volumen:
  

• Hay un cubo de área:[Photo]

• Hay otros tres cubos de volumen:

Así el resultado final del volumen suma de todos los cubos de esta manera será:



Con lo que se demuestra que:



Las imágenes están sacadas de este link:
http://www.geocities.com/micadesa/educacion/edubinomios.html

EJERCICIOS FACTORIZACIÓN.

Hola,
aquí teneis los ejercicios de factorización.

Factorizacion.doc

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Haced el ejercicio 1. Lo pongo otra vez aquí por si hay algún problema descargando el doc:

Y AHORA CON MÚSICA ...

Más de lo mismo, pero ahora con música, y unos gráficos más trabajados. Aprenderemos en Informática como hacer un powerpoint como este, INCLUÍDA LA MÚSICA!!
En este también se puede ver como se resuelven ejercicios.

NOTA: Se usa la palabra CONJUGADO para indicar la suma de una suma por una diferencia.

EL CUADRADO DE UNA SUMA GRÁFICAMENTE.

Hola,
he encontrado un vídeo en el que explican el cuadrado de una suma pero con dibujos, es decir, considerando que a+b es la longitud de un cuadrado. Para que veáis que en matemáticas se pueden también hacer multimplicaciones sin saber álgebra, sólo dibujando :):

IGUALDADES NOTABLES.

Hola,
aquí tenéis los apuntes correspondientes a la parte de igualdades notables, dónde aparecen todas las fórmulas que hemos visto hoy en clase.

ApuntesTema2_Produ...

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Los ejercicios correspondientes:

EJERCICIOS IGUALDA...

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• DEBERES PARA EL LUNES: hay que hacer la primera línea de a), de b) y de c), es decir:

POTENCIAS.

Hola, 

aquí podeis ver:

• Apuntes del tema de potencias, lo que hemos visto hoy en clase:
  

ApuntesTema2_Poten...

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• Ejercicios para practicar las potencias. De aquí empezad a hacer el ejercicio 1 para el próximo día. 
  

potencias.pdf

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• Los ejercicios de la primera hoja están finalmente en este link. http://www.bigupload.com/files/PL4BTQHR9D/EjT2_letras.pdf.zip.html

Este hosting es un poco diferente, pero por alguna razón el otro servidor se ha roto... 

Actualización hoja de ejercicios.

La hoja de ejercicios está en el post anterior. 

Para los que ya la habíais impreso: ahora hay un ejercicio más. Miradlo!

Ya he actualizado la hoja de ejercicios.

Ya está actualizada la hoja de ejercicios en la que no aparecían las fórmulas.

Acordaros que tenéis que hacer los ejercicios 4, 7 y 8 de dicha hoja. 

Para Alexandra,  como hoy no pudiste venir, decirte que la teoría que vimos hoy en clase fue las DEFINICIONES de binomio, trinomio y polinomio, el valor numérico, las operaciones con reales, y nos quedamos en el producto de binomios. Si lo lees, podrás hacer los ejercicios sin problema. 

EjerciciosTema2_Le...

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TEORÍA Y EJERCICIOS: Trabajar con letras.

Aquí están los apuntes para la parte de expresiones algebraicas:

ApuntesTema2_Letra...

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y los ejercicios correspondientes.

EjerciciosTema2_1....

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Si tenéis algún problema, por el formato, o porque no podáis descargarlo, me dejáis un comentario y tan pronto como lo lea, lo intento arreglar.

Lo mismo, si veis algún enunciado que no se vea, o que no esté claro. Mi ordenador no es Windows y por eso puede haber alguna incompatibilidad. 

A disfrutar con los ejercicios!!

TEMA 2. ALGEBRA Y TEORIA DE NÚMEROS.

El tema que empezaremos mañana será de Álgebra. Es un tema muy largo que nos llevará casi dos meses. 

Un resumen de los puntos que tocaremos:

- Uso de las letras. 

- Operaciones con potencias.

- Propiedades de las potencias.

- Expresar números como potencias. 

- Polinomios. 

- Igualdades notables. 

- Expresiones equivalentes.

- Operaciones algebraicas con fracciones. 

- Divisivilidad.

- Máximo Común Divisor y mínimo común divisor. 

- Sistemas de representación.

SOLUCIÓN AL EXAMEN.

La solución al examen de hoy:

1. Determinar los conjuntos A, B y C dónde:

a)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

A\B = {8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 3}, A ∩ B ∩ C = {1, 3}

A ∩ C = {1, 3, 8}, B\C = {2, 7}

Calcular el cardinal de A ∩ B. 

b)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 5, 6, 7}

A ∩ C = {5, 6, 7, 8}, B ∩ C = {3, 5, 6, 7}, A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B\A = {3, 9}

Calcular |A|, |B| y |B∪C|.

a) La solución al apartado a sería la siguiente:

A = {1, 2, 3, 8, 9, 10}

B = {1, 2, 3, 6, 7}

C = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.

En cuanto al cardinal de ||de A ∩ B, es decir el número de elementos que tiene el conjunto intersección de A y B, sería 3, ya que está formado por los elementos {1, 2, 3}. Podemos entonces escribir que |A ∩ B| = 3.

b) La solución al apartado b sería la siguiente: 

A = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
C = {3, 5, 6, 7, 8, 10}

ya que cumple todas las condiciones impuestas en el enunciado. 

En cuanto a |A|, se trata de calcular el cardinal de A, es decir, el número de elementos de A, así que |A| = 7. Por otro lado, |B| = 7.

Para |B∪C|, aplicando la fórmula vista en clase de teoría, |B∪C| = |B| + |C| - |B ∩ C|, podemos decir que como |B| = 7, |C| = 6 y |B ∩ C| = 4 según los datos del problema, entonces|B∪C| = 7 + 6 -4 = 9.

2. Decir cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y explica cual es la razón:
a)(7, 9) = {8}
b)El número de elementos de la unión de dos conjuntos es la suma de los elementos de cada uno de los conjuntos.
c)ℤ ∩ R = N
d)∅⊆ A
e)∅´´= U

a) FALSO. (7,9) es un intervalo formado por todos los números reales comprendidos entre 7 y 9. {8} es el conjunto formado por un sólo número, el 8. Así que es imposible que sean iguales.

b) FALSO. Lo que dice esa frase es que |A∪B| = |A| + |B|. Esto es falso en general. Sólo sería cierto en el caso particular de que A y B sean conjuntos disjuntos, es decir, que su intersección sea el conjunto vacío. 

c) FALSO. Por ejemplo -3 es un elemento de Z ∩ R pero no es un elemento de N así que no pueden ser iguales. Concretamente, Z ∩ R = Z.

d) VERDADERO. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. 

e) FALSO. El complementario del conjunto vacío, es decir ∅´es el conjunto universal. Y  el complementario del universal, es decir (∅´)´ el vacío. Así que ∅´´= ∅.

3. Representar en forma de intervalo, de conjunto y de intervalo los resultados de:
a) [1, 3]∪(3, 7] c) (3, 4)∪{4} e) R ∪ [0, 6]
b) [-2, 3)∩(4, 7] d) [-3, 2]\{0} f) Z ∩ [0, 6)

a) [1, 7]

b) La intersección es el conjunto vacío. 

c) (3, 4]

d) [-3, 0) ∪ (0, 2]

e) R 

f) {0, 1, 2, 3, 4, 5}

En clase pintaremos en la recta cada conjunto. 

4. Expresar mediante palabras los siguientes conjuntos.
Escribir cuatro elementos de cada uno de los conjuntos.
H = { n | 10 ≤n<30,>

A = { 3/k | 4 ≤k<6,>

B = {4l2 | 5≤l≤7, l R} 

H es el conjunto de los números naturales tales que es menor o igual a ese número y es menor que 30. Cuatro elementos del conjunto son: 10, 11, 12, 13.

A es el conjunto de los números de la forma 3/k dónde k es un racional mayor o igual a 4 y menor que 6. Cuatro elementos del conjunto son: 3/4, 3/5, 3/6, 6/9.

ACLARACIÓN: un valor de k sería 4,5, que en forma de fracción es 4 + 1/2 =9/2. Así, para k=9/2,

el elemento es 3/(9/2) = 6/9.

B es el conjunto de los números de la forma 4 por l al cuadrado, donde l es un número real mayor o igual a 5 y menor o igual a 7. Cuatro elementos de este conjunto son para los valores de l=5, 6, 7 y 5,5, 

Para l=5, 4*5*5 = 100

Para l=6, 4*6*6 = 144

Para l=7, 4*7*7 = 196

Para l=5.5, 4*5,5*5,5 = 484 

5.Dado el conjunto A = {10, 11, 12, 13, 14, 15}. Escribir los elementos del conjunto B = {n2 | n A}. Determinar el subconjunto del conjunto B cuyos elementos son:
a) números pares d) divisibles por 16
b) divisibles por 4 e) divisibles por 25
c) divisibles por 9 f) primos

El conjunto B está formado por los cuadrados de los elementos de A así que los elementos de B serían:

A = {100, 121, 144, 169, 196, 225}

A partir de esto podemos concluir las respuestas:

a) Los números pares son los números divisibles por 2: {100, 144, 196}

b) Los divisibles por 4 son: {100, 144, 196}

c) Los divisibles por 9 son: {144, 225}

d) Los divisibles por 16 son: {144}

e) Los divisibles por 25 son: {225}

g) No hay números primos, pues son todos cuadrados de alguno, así que la solución a esto es el conjunto vacío.

ENUNCIADO DEL EXAMEN.

Este es el examen de hoy para que lo tengáis en formato electrónico. 

En un rato cuelgo la solución. 

Si tenéis algún comentario adicional sobre el examen, podéis escribirlo pinchando en comentarios.

Examen2_TeoriaConj...

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ALGUNOS VIDEOS INTERESANTES SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS.

COMO SE CONSTRUYEN LOS DIFERENTES CONJUNTOS DE NÚMEROS.

En este video se explica como va surgiendo la necesidad de construir nuevos conjuntos de números. Cómo no es suficiente con los números naturales, y aparecen los enteros. Cómo a partir de los enteros, surgen los racionales, etc.  ¡¡Muy cortito y muy claro!!

UNA DEMOSTRACIÓN DE TEORÍA DE CONJUNTOS.

Esto en clase no lo hemos visto, pero se trata de un tipo de ejercicios un poco más difíciles que los que nosotros hacemos en clase. Son demostraciones sobre igualdad de conjuntos. Por ejemplo, si hubiéramos querido demostrar las leyes de De Morgan, tendríamos que haber seguido los pasos que indica este señor. 

PARADOJAS.

Y por último, unas curiosidades o "chistes" matemáticos. Sólo la última tiene ver con la teoría de conjuntos, pero las otras dos están bien. 

Primero explicaros que una PARADOJA es una contradicción, al menos aparente, entres dos cosas o ideas, algo que parece ser mentira o que conduce a un absurdo. 

En este video se muestras tres paradojas para que entendáis lo idea.

EXAMEN.

Acordaros, que el próximo día 2 de Octubre tenemos examen del Tema 1.

APUNTES TEMA 1.

Este es el link de donde os podeis descargar los apuntes del tema 1.

ApuntesTEMA1.doc

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Si tenéis problemas para verlo, me dejáis un comentario o me lo decís en clase. 

INAUGURACIÓN.

Hola a todos,

inauguro oficialmente el blog para compartir con vosotros ejercicios, apuntes, informacion adicional, curiosidades de matemáticas y todo lo que se os pueda ocurrir.

Espero os guste y sobre todo, os sirva de ayuda.

Angélica.