La solución al examen de hoy:
1. Determinar los conjuntos A, B y C dónde:
a)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}
A\B = {8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 3}, A ∩ B ∩ C = {1, 3}
A ∩ C = {1, 3, 8}, B\C = {2, 7}
Calcular el cardinal de A ∩ B.
b)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 5, 6, 7}
A ∩ C = {5, 6, 7, 8}, B ∩ C = {3, 5, 6, 7}, A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B\A = {3, 9}
Calcular |A|, |B| y |B∪C|.
a) La solución al apartado a sería la siguiente:
A = {1, 2, 3, 8, 9, 10}
B = {1, 2, 3, 6, 7}
C = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.
En cuanto al cardinal de ||de A ∩ B, es decir el número de elementos que tiene el conjunto intersección de A y B, sería 3, ya que está formado por los elementos {1, 2, 3}. Podemos entonces escribir que |A ∩ B| = 3.
b) La solución al apartado b sería la siguiente:
A = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
C = {3, 5, 6, 7, 8, 10}
ya que cumple todas las condiciones impuestas en el enunciado.
En cuanto a |A|, se trata de calcular el cardinal de A, es decir, el número de elementos de A, así que |A| = 7. Por otro lado, |B| = 7.
Para |B∪C|, aplicando la fórmula vista en clase de teoría, |B∪C| = |B| + |C| - |B ∩ C|, podemos decir que como |B| = 7, |C| = 6 y |B ∩ C| = 4 según los datos del problema, entonces|B∪C| = 7 + 6 -4 = 9.
2. Decir cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y explica cual es la razón:
a)(7, 9) = {8}
b)El número de elementos de la unión de dos conjuntos es la suma de los elementos de cada uno de los conjuntos.
c)ℤ ∩ R = N
d)∅⊆ A
e)∅´´= U
a) FALSO. (7,9) es un intervalo formado por todos los números reales comprendidos entre 7 y 9. {8} es el conjunto formado por un sólo número, el 8. Así que es imposible que sean iguales.
b) FALSO. Lo que dice esa frase es que |A∪B| = |A| + |B|. Esto es falso en general. Sólo sería cierto en el caso particular de que A y B sean conjuntos disjuntos, es decir, que su intersección sea el conjunto vacío.
c) FALSO. Por ejemplo -3 es un elemento de Z ∩ R pero no es un elemento de N así que no pueden ser iguales. Concretamente, Z ∩ R = Z.
d) VERDADERO. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.
e) FALSO. El complementario del conjunto vacío, es decir ∅´es el conjunto universal. Y el complementario del universal, es decir (∅´)´ el vacío. Así que ∅´´= ∅.
3. Representar en forma de intervalo, de conjunto y de intervalo los resultados de:
a) [1, 3]∪(3, 7] c) (3, 4)∪{4} e) R ∪ [0, 6]
b) [-2, 3)∩(4, 7] d) [-3, 2]\{0} f) Z ∩ [0, 6)
a) [1, 7]
b) La intersección es el conjunto vacío.
c) (3, 4]
d) [-3, 0) ∪ (0, 2]
e) R
f) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
En clase pintaremos en la recta cada conjunto.
4. Expresar mediante palabras los siguientes conjuntos.
Escribir cuatro elementos de cada uno de los conjuntos.
H = { n | 10 ≤n<30,>
A = { 3/k | 4 ≤k<6,>
B = {4l2 | 5≤l≤7, l R}
H es el conjunto de los números naturales tales que es menor o igual a ese número y es menor que 30. Cuatro elementos del conjunto son: 10, 11, 12, 13.
A es el conjunto de los números de la forma 3/k dónde k es un racional mayor o igual a 4 y menor que 6. Cuatro elementos del conjunto son: 3/4, 3/5, 3/6, 6/9.
ACLARACIÓN: un valor de k sería 4,5, que en forma de fracción es 4 + 1/2 =9/2. Así, para k=9/2,
el elemento es 3/(9/2) = 6/9.
B es el conjunto de los números de la forma 4 por l al cuadrado, donde l es un número real mayor o igual a 5 y menor o igual a 7. Cuatro elementos de este conjunto son para los valores de l=5, 6, 7 y 5,5,
Para l=5, 4*5*5 = 100
Para l=6, 4*6*6 = 144
Para l=7, 4*7*7 = 196
Para l=5.5, 4*5,5*5,5 = 484
5.Dado el conjunto A = {10, 11, 12, 13, 14, 15}. Escribir los elementos del conjunto B = {n2 | n A}. Determinar el subconjunto del conjunto B cuyos elementos son:
a) números pares d) divisibles por 16
b) divisibles por 4 e) divisibles por 25
c) divisibles por 9 f) primos
El conjunto B está formado por los cuadrados de los elementos de A así que los elementos de B serían:
A = {100, 121, 144, 169, 196, 225}
A partir de esto podemos concluir las respuestas:
a) Los números pares son los números divisibles por 2: {100, 144, 196}
b) Los divisibles por 4 son: {100, 144, 196}
c) Los divisibles por 9 son: {144, 225}
d) Los divisibles por 16 son: {144}
e) Los divisibles por 25 son: {225}
g) No hay números primos, pues son todos cuadrados de alguno, así que la solución a esto es el conjunto vacío.
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