SOLUCIÓN AL EXAMEN.

La solución al examen de hoy:

1. Determinar los conjuntos A, B y C dónde:

a)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

A\B = {8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 3}, A ∩ B ∩ C = {1, 3}

A ∩ C = {1, 3, 8}, B\C = {2, 7}

Calcular el cardinal de A ∩ B. 

b)A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∩ B = {1, 2, 5, 6, 7}

A ∩ C = {5, 6, 7, 8}, B ∩ C = {3, 5, 6, 7}, A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B\A = {3, 9}

Calcular |A|, |B| y |B∪C|.

a) La solución al apartado a sería la siguiente:

A = {1, 2, 3, 8, 9, 10}

B = {1, 2, 3, 6, 7}

C = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.

En cuanto al cardinal de ||de A ∩ B, es decir el número de elementos que tiene el conjunto intersección de A y B, sería 3, ya que está formado por los elementos {1, 2, 3}. Podemos entonces escribir que |A ∩ B| = 3.

b) La solución al apartado b sería la siguiente: 

A = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
C = {3, 5, 6, 7, 8, 10}

ya que cumple todas las condiciones impuestas en el enunciado. 

En cuanto a |A|, se trata de calcular el cardinal de A, es decir, el número de elementos de A, así que |A| = 7. Por otro lado, |B| = 7.

Para |B∪C|, aplicando la fórmula vista en clase de teoría, |B∪C| = |B| + |C| - |B ∩ C|, podemos decir que como |B| = 7, |C| = 6 y |B ∩ C| = 4 según los datos del problema, entonces|B∪C| = 7 + 6 -4 = 9.

2. Decir cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y explica cual es la razón:
a)(7, 9) = {8}
b)El número de elementos de la unión de dos conjuntos es la suma de los elementos de cada uno de los conjuntos.
c)ℤ ∩ R = N
d)∅⊆ A
e)∅´´= U

a) FALSO. (7,9) es un intervalo formado por todos los números reales comprendidos entre 7 y 9. {8} es el conjunto formado por un sólo número, el 8. Así que es imposible que sean iguales.

b) FALSO. Lo que dice esa frase es que |A∪B| = |A| + |B|. Esto es falso en general. Sólo sería cierto en el caso particular de que A y B sean conjuntos disjuntos, es decir, que su intersección sea el conjunto vacío. 

c) FALSO. Por ejemplo -3 es un elemento de Z ∩ R pero no es un elemento de N así que no pueden ser iguales. Concretamente, Z ∩ R = Z.

d) VERDADERO. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. 

e) FALSO. El complementario del conjunto vacío, es decir ∅´es el conjunto universal. Y  el complementario del universal, es decir (∅´)´ el vacío. Así que ∅´´= ∅.

3. Representar en forma de intervalo, de conjunto y de intervalo los resultados de:
a) [1, 3]∪(3, 7] c) (3, 4)∪{4} e) R ∪ [0, 6]
b) [-2, 3)∩(4, 7] d) [-3, 2]\{0} f) Z ∩ [0, 6)

a) [1, 7]

b) La intersección es el conjunto vacío. 

c) (3, 4]

d) [-3, 0) ∪ (0, 2]

e) R 

f) {0, 1, 2, 3, 4, 5}

En clase pintaremos en la recta cada conjunto. 

4. Expresar mediante palabras los siguientes conjuntos.
Escribir cuatro elementos de cada uno de los conjuntos.
H = { n | 10 ≤n<30,>

A = { 3/k | 4 ≤k<6,>

B = {4l2 | 5≤l≤7, l R} 

H es el conjunto de los números naturales tales que es menor o igual a ese número y es menor que 30. Cuatro elementos del conjunto son: 10, 11, 12, 13.

A es el conjunto de los números de la forma 3/k dónde k es un racional mayor o igual a 4 y menor que 6. Cuatro elementos del conjunto son: 3/4, 3/5, 3/6, 6/9.

ACLARACIÓN: un valor de k sería 4,5, que en forma de fracción es 4 + 1/2 =9/2. Así, para k=9/2,

el elemento es 3/(9/2) = 6/9.

B es el conjunto de los números de la forma 4 por l al cuadrado, donde l es un número real mayor o igual a 5 y menor o igual a 7. Cuatro elementos de este conjunto son para los valores de l=5, 6, 7 y 5,5, 

Para l=5, 4*5*5 = 100

Para l=6, 4*6*6 = 144

Para l=7, 4*7*7 = 196

Para l=5.5, 4*5,5*5,5 = 484 

5.Dado el conjunto A = {10, 11, 12, 13, 14, 15}. Escribir los elementos del conjunto B = {n2 | n A}. Determinar el subconjunto del conjunto B cuyos elementos son:
a) números pares d) divisibles por 16
b) divisibles por 4 e) divisibles por 25
c) divisibles por 9 f) primos

El conjunto B está formado por los cuadrados de los elementos de A así que los elementos de B serían:

A = {100, 121, 144, 169, 196, 225}

A partir de esto podemos concluir las respuestas:

a) Los números pares son los números divisibles por 2: {100, 144, 196}

b) Los divisibles por 4 son: {100, 144, 196}

c) Los divisibles por 9 son: {144, 225}

d) Los divisibles por 16 son: {144}

e) Los divisibles por 25 son: {225}

g) No hay números primos, pues son todos cuadrados de alguno, así que la solución a esto es el conjunto vacío.